ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធសមីការនៃសមីការពិជគណនលីនេអ៊ែរ

ត្រឡប់ទៅសាលារៀនយើងម្នាក់ៗបានសិក្សាសមីការនិងប្រហែលជាប្រព័ន្ធសមីការ។ ប៉ុន្តែមិនមានមនុស្សច្រើនទេដែលដឹងថាមានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយ។ សព្វថ្ងៃនេះយើងនឹងពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តទាំងអស់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដែលមានច្រើនជាងពីរសមភាពមួយ។

ប្រវត្តិ

រហូតមកដល់ពេលនេះវាត្រូវបានគេដឹងថាសិល្បៈនៃការដោះស្រាយសមីការនិងប្រព័ន្ធរបស់ពួកវាមានប្រភពដើមនៅបាប៊ីឡូននិងអេហ្ស៊ីបបុរាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសមភាពក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់ពួកយើងសម្រាប់យើងបានបង្ហាញខ្លួនបន្ទាប់ពីរូបរាងនៃសញ្ញាស្មើ "=" ដែលត្រូវបានណែនាំក្នុងឆ្នាំ 1556 ដោយគណិតវិទូភាសាអង់គ្លេស។ ដោយវិធីនេះសញ្ញានេះត្រូវបានជ្រើសរើសដោយមូលហេតុ: វាមានន័យថាចម្រៀកស្មើគ្នាពីរ។ ហើយវាជាការពិតដែលថាគំរូដ៏ល្អបំផុតនៃសមភាពមិនអាចស្រមៃបានទេ។

ស្ថាបនិកនៃការចង្អុលបង្ហាញអក្សរកាត់សម័យទំនើបនៃការមិនស្គាល់និងសញ្ញានៃដឺក្រេគឺគណិតវិទូ បារាំង Francois Viet ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការចង្អុលបង្ហាញរបស់វាខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីថ្ងៃនេះ។ ឧទាហរណ៍ការ៉េនៃចំនួនមិនស្គាល់មួយត្រូវបានគេបង្ហាញដោយអក្សរ Q (ឡាតាំង "quadratus") និងគូបដោយអក្សរ C (ឡាតាំង "គូប") ។ ការចង្អុលបង្ហាញទាំងនេះហាក់ដូចជាមិនស្រួលទេប៉ុន្តែក្រោយមកវាគឺជាវិធីដែលអាចយល់បានបំផុតដើម្បីសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគុណវិបត្តិក្នុងវិធីសាស្ត្រនៃដំណោះស្រាយបន្ទាប់មកគឺថាគណិតវិទូចាត់ទុកថាជាឫសគល់វិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ។ ប្រហែលជានេះគឺដោយសារតែតម្លៃអវិជ្ជមានមិនមានកម្មវិធីអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកគណិតវិទូអ៊ីតាលី Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano និង Rafael Bombelli នៅសតវត្សទី 16 គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលចាត់ទុកថាជាឫសគល់អវិជ្ជមាន។ សំណុំបែបបទសម័យទំនើបវិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយ សមីការជ្រុង (តាមរយៈការរើសអើង) ត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយអរគុណដល់ការងាររបស់ដេស្កានិងញូតុន។

នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 18 គណិតវិទូស្វីសកាព្រីលខឺរឺបានរកឃើញវិធីថ្មីមួយដើម្បីបង្កើតប្រព័ន្ធដំណោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរងាយស្រួលជាង។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមឈ្មោះរបស់គាត់បន្ទាប់មកដល់ថ្ងៃនេះយើងកំពុងប្រើវា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយពីវិធីរបស់ Cramer បន្តិចក្រោយមកប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះយើងនឹងពិភាក្សាអំពីសមីការលីនេអ៊ែរនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវាដាច់ដោយឡែកពីប្រព័ន្ធ។

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរគឺជាសមីការដ៏សាមញ្ញបំផុតជាមួយអថេរមួយ។ ពួកគេត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាពិជគណិត។ សមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេ សរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចតទៅ: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... _n * x _n = b ។ ការតំណាងឱ្យពួកវានៅក្នុងទំរង់បែបបទនេះគឺត្រូវបានទាមទារសម្រាប់ការចងក្រងនៃប្រព័ន្ធនិងម៉ាទ្រីស។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

និយមន័យនៃពាក្យនេះគឺ: វាគឺជាការប្រមូលផ្ដុំនៃសមីការដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ទូទៅនិងជាដំណោះស្រាយទូទៅ។ តាមក្បួននៅក្នុងសាលារៀនអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រព័ន្ធដែលមានសមីការពីរឬបី។ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធដែលមានសមាសធាតុបួនឬច្រើន។ ចូរក្រឡេកមើលរបៀបដំបូងដែលសរសេរវាចុះដូច្នេះនៅពេលអនាគតវាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ។ ដំបូងប្រព័ន្ធនៃសមីការអាល់កុលលីនេអ៊ែរនឹងមើលទៅប្រសើរជាងមុនប្រសិនបើអថេរទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរជា x ជាមួយលិបិក្រមដែលត្រូវគ្នា: 1,2,3 ។ ល។ ទីពីរវាចាំបាច់ក្នុងការនាំយកសមីការទាំងអស់ទៅជាទម្រង់ Canonical: a * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b ។

បន្ទាប់ពីសកម្មភាពទាំងនេះយើងអាចចាប់ផ្តើមប្រាប់ពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ យ៉ាងខ្លាំងសម្រាប់រឿងនេះយើងត្រូវការម៉ារៀ។

ម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីសមួយគឺជាតារាងដែលមានជួរដេកនិងជួរឈរហើយនៅចំនុចប្រសព្វរបស់វាគឺជាធាតុរបស់វា។ នេះអាចជាតម្លៃជាក់លាក់ឬអថេរ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់ធាតុនោះពួកវាត្រូវបានដាក់នៅខាងក្រោមតួអក្សររង (ឧទាហរណ៍លេខ ₁₁ ឬ ₂₃ ) ។ លិបិក្រមទីមួយជាលេខជួរដេកហើយទីពីរគឺជាជួរឈរ។ លើម៉ាទ្រីសក៏ដូចជាធាតុម៉ាទ្រីសដទៃទៀតដែលអ្នកអាចធ្វើប្រតិបត្តិការផ្សេងៗ។ ដូច្នេះអ្នកអាច:

1) ដកនិងបន្ថែមតារាងទំហំដូចគ្នា។

2) គុណម៉ាទ្រីសដោយលេខឬវ៉ិចទ័រ។

3) Transpose: បម្លែងជួរដេករបស់ម៉ាទ្រីសទៅជាជួរឈរនិងជួរឈរ - ក្នុងបន្ទាត់។

4) គុណមេគុណប្រសិនបើចំនួនជួរដេកនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្មើគ្នានឹងចំនួនជួរឈរនៃជួរដេកផ្សេងទៀត។

យើងនឹងពិភាក្សាគ្នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងអស់នេះដោយលំអិតបន្ថែមទៀតព្រោះវានឹងមានប្រយោជន៍ដល់យើងនាពេលអនាគត។ ការដកនិងការបន្ថែមមេគុណគឺសាមញ្ញណាស់។ ដោយសារយើងយកម៉ាទ្រីសនៃទំហំដូចគ្នាធាតុនីមួយៗនៃតារាងមួយទាក់ទងទៅនឹងធាតុនីមួយ ៗ នៃធាតុផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះយើងបូក (ដកចេញ) ធាតុទាំងពីរនេះ (វាសំខាន់ណាស់ដែលពួកគេឈរនៅលើកន្លែងដដែលនៅក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់ពួកគេ) ។ នៅពេលពហុគុណម៉ាទ្រីសមួយដោយចំនួនឬវ៉ិចទ័រមួយអ្នកគ្រាន់តែពន្យល់ធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយលេខនោះ (ឬវ៉ិចទ័រ) ។ ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាដំណើរការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់។ ពេលខ្លះវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការមើលឃើញវានៅក្នុងជីវិតពិតឧទាហរណ៍ពេលប្ដូរទិសនៃកុំព្យូទ័របន្ទះឬទូរស័ព្ទ។ រូបតំណាងនៅលើផ្ទៃតុគឺជាម៉ាទ្រីសហើយនៅពេលដែលទីតាំងផ្លាស់ប្តូរវាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរនិងក្លាយជាធំប៉ុន្តែថយចុះនៅក្នុងកម្ពស់។

តោះវិភាគថាដំណើរការនេះដូចជាការ គុណមេគុណ។ ទោះបីវាមិនមានភាពងាយស្រួលក៏ដោយវានៅតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីវា។ គុណពីរម៉ាទ្រីសតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើចំនួនជួរឈរនៃតារាងមួយស្មើចំនួនជួរដេកនៃជួរដេកផ្សេងទៀត។ ឥឡូវនេះយើងយកធាតុនៃបន្ទាត់ម៉ាទ្រីសមួយនិងធាតុនៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នារបស់ផ្សេងទៀត។ យើងគុណគេម្តងមួយហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមពួកវា (ឧទាហរណ៍ផលិតផលនៃធាតុ ₁₁ និង ₁₂ ដោយខ ₁₂ និងខ ₂₂ គឺ: a ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ) ។ ដូច្នេះធាតុមួយនៃតារាងត្រូវបានទទួលហើយវិធីសាស្ត្រដូចគ្នាត្រូវបានបំពេញបន្ថែម។

ឥឡូវនេះយើងអាចចាប់ផ្តើមពិចារណាពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ។

វិធី Gauss

ប្រធានបទនេះចាប់ផ្តើមប្រព្រឹត្តទៅនៅសាលារៀន។ យើងដឹងអំពីគំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ" បានល្អហើយអាចដោះស្រាយបាន។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើចំនួនសមីការគឺធំជាងពីរ? វិធីសាស្ត្រ Gauss នឹងជួយយើងក្នុងការនេះ ។

ជាការពិតណាស់វាងាយស្រួលក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រនេះប្រសិនបើយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសពីប្រព័ន្ធ។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចផ្លាស់ប្តូរវាហើយដោះស្រាយវាតាមទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វាបានទេ។

ដូច្នេះតើប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាត់កណ្តាលអាចដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រនេះយ៉ាងដូចម្តេច? ដោយវិធីទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគាត់ប៉ុន្តែវាត្រូវបានគេរកឃើញនៅសម័យបុរាណ។ Gauss ណែនាំដូចខាងក្រោមៈដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការដោយសមីការដើម្បីទីបំផុតនាំទាំងមូលទៅជាទម្រង់ដូចជំហាន។ នោះគឺជាការចាំបាច់ដែលពីកំពូលទៅបាត (ប្រសិនបើបានរៀបចំត្រឹមត្រូវ) ពីសមីការដំបូងទៅចុងក្រោយមួយនឹងថយចុះដោយមិនស្គាល់មួយ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតយើងត្រូវធ្វើឱ្យវាដូច្នេះយើងទទួលបាននិយាយថាសមីការបី: ក្នុងលើកដំបូង - មិនស្គាល់បីនៅក្នុងវិនាទី - ពីរនៅក្នុងទីបី - មួយ។ បន្ទាប់មកពីសមីការចុងក្រោយយើងរកឃើញមិនស្គាល់លើកដំបូងជំនួសតម្លៃរបស់វានៅក្នុងសមីការទី 2 ឬទី 1 ហើយបន្ទាប់មករកអថេរពីរដែលនៅសល់។

វិធីរបស់ Cramer

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តនេះវាពិតជាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការមានជំនាញនៃការបូកដកនៃម៉ាទ្រីសហើយក៏ដើម្បីអាចរកឃើញនូវកត្តាកំណត់ផងដែរ។ ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកធ្វើវាឱ្យបានល្អឬមិនដឹងតើអ្នកនឹងត្រូវរៀននិងអនុវត្ត។

តើអ្វីជាសារៈសំខាន់នៃវិធីសាស្រ្តនេះនិងរបៀបបង្កើតវាដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ Cramer លីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល? វាសាមញ្ញណាស់។ យើងត្រូវតែសង់ម៉ាទ្រីសនៃមេគុណ (ស្ទើរតែគ្រប់ពេល) នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគ្រាន់តែយកលេខនៅពីមុខអត្ដសញ្ញាណហើយដាក់វានៅលើតុតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើមានសញ្ញា "-" នៅពីមុខលេខសូមសរសេរមេគុណអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះយើងបានរៀបចំម៉ាទ្រីសដំបូងនៃមេគុណដែលមិនស្គាល់ដោយមិនរាប់បញ្ចូលលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា (វាជាធម្មជាតិដែលសមីការគួរត្រូវបានកាត់បន្ថយជាទម្រង់កិរិយាធម្មតានៅពេលដែលផ្នែកខាងស្ដាំមានតែលេខនិងទៅខាងឆ្វេងទាំងអស់ដែលមានមេគុណ) ។ បន្ទាប់មកយើងត្រូវបង្កើតម៉ារទីបីបន្ថែមទៀតមួយសម្រាប់អថេរនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសម៉ាទ្រីសដំបូងជាវេនដែលជួរនីមួយៗមានមេគុណនៃជួរឈរលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសជាច្រើនហើយបន្ទាប់មករកឃើញនូវកត្តាកំណត់របស់វា។

បន្ទាប់ពីយើងបានរកឃើញនូវកត្តាកំណត់វាជារឿងតូចតាច។ យើងមានម៉ាទ្រីសដំបូងនិងមានពពកច្រើនដែលត្រូវគ្នានឹងអថេរផ្សេងៗ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធយើងបែងចែកកំនត់នៃតារាងដែលទទួលបានទៅក្នុងកត្តាកំណត់នៃតារាងដំបូង។ លេខលទ្ធផលគឺជាតម្លៃនៃអថេរមួយ។ ដូចគ្នានេះដែរ, យើងរកឃើញទាំងអស់ដែលមិនស្គាល់។

វិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនផ្សេងទៀតសម្រាប់ការទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍វិធីសាស្ត្រ Gauss - ហ្ស៊កដានីដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការជ្រុងគឺទាក់ទងទៅនឹងការប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីស។ ក៏មានវិធីសាស្រ្ត Jacobi សម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ វាគឺជាការសម្របខ្លួនបំផុតសម្រាប់កុំព្យួទ័រហើយត្រូវបានប្រើនៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ករណីស្មុគ្រស្មាញ

ភាពស្មុគស្មាញកើតឡើងជាធម្មតាប្រសិនបើចំនួនសមីការតិចជាងចំនួនអថេរ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានថាប្រព័ន្ធនេះមិនស៊ីគ្នា (ដែលវាគ្មានឫសទេ) ឬចំនួនដំណោះស្រាយរបស់វាមាននិន្នាការទៅអណ្តែត។ ប្រសិនបើយើងមានករណីទី 2 បន្ទាប់មកយើងត្រូវសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ វានឹងមានយ៉ាងហោចណាស់អថេរមួយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ដូច្នេះយើងបានមកដល់ទីបញ្ចប់។ ចូរយើងសន្និដ្ឋាន: យើងបានវិភាគនូវអ្វីដែលប្រព័ន្ធនិងម៉ាទ្រីសគឺហើយយើងបានរៀនពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ លើសពីនេះទៀតយើងបានពិចារណាអំពីជម្រើសផ្សេងទៀត។ យើងបានរកឃើញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ: វិធីសាស្ត្រ Gauss និង វិធី Cramer ។ យើងបាននិយាយអំពីករណីស្មុគស្មាញនិងវិធីផ្សេងទៀតក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

តាមការពិតប្រធានបទនេះមានលក្ខណៈទូលំទូលាយជាងមុនហើយប្រសិនបើអ្នកចង់យល់ពីវាកាន់តែល្អនោះយើងសូមណែនាំឱ្យអានឯកទេសឯកទេសបន្ថែមទៀត។