Maclaurin និងមុខងារមួយចំនួន decomposition នៃ

សិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់គួរតែដឹងថាផលបូកនៃស៊េរីស្វ័យគុណក្នុងចន្លោះពេលនៃចំណុចនៃចំនួននៃពួកយើងមួយនេះគឺជាចំនួននៃការបន្តនិងគ្មានដែនកំណត់មុខងារប្លែកដងក្នុងមួយ។ សំណួរកើតឡើង: គឺវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីតវ៉ាដែលបានផ្តល់មុខងារជាចបំពាន (x) - គឺជាការបូកនៃស៊េរីស្វ័យគុណមួយ? នោះគឺជា, នៅក្រោមអ្វីដែលលក្ខខណ្ឌបែ-f (x) f អាចត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរីស្វ័យគុណមួយ? សារៈសំខាន់នៃបញ្ហានេះគឺថាវាគឺអាចធ្វើបានដើម្បីជំនួសប្រមាណ£ទ្រឹស្ដី f (x) គឺជាការបូកនៃលក្ខខណ្ឌពីរបីដំបូងនៃស៊េរីស្វ័យគុណមួយ, នោះគឺជាពហុធាមួយ។ បែបមុខងារជំនួសមួយគឺជាកន្សោមសាមញ្ញណាស់ - ពហុធា - គឺងាយស្រួលនិងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួននៅ ក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា, ពោលគឺក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលពេលគណនា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល , ល ...

វាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ f-II មួយចំនួនរបស់ f (x) ម្ល៉ោះឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុនៃ (n + 1) គោលបំណង -th នេះអាចត្រូវបានគណនាដោយរួមបញ្ចូលទាំងចុងក្រោយបំផុតនៅក្នុងតំបន់ជុំវិញនេះ (α - ៛; x ₀ + R) នៃចំណុច X = αរូបមន្តត្រឹមត្រូវគឺ:

រូបមន្តនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រល្បីឈ្មោះប្រ៊ូក Taylor បាន។ ចំនួននៃអ្នកដែលត្រូវបានពង្វាងចេញមកពីមុនមួយ, ត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរី Maclaurin:

ច្បាប់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផលិតពង្រីកមួយស៊េរី Maclaurin ក្នុង:

1. កំណត់ឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុនៃទីមួយទីពីរទីបី ... លំដាប់។
2. អ្វីដែលជាឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុគណនានៅ X = 0 ។
3. កំណត់ត្រាស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារនេះហើយបន្ទាប់មកដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលនៃចំណុចនេះ។
4. កំណត់ចន្លោះពេល (-R; ៛), ដែលជាកន្លែងដែលជាផ្នែកមួយនៃរូបមន្ត Maclaurin សំណល់

R _n (X) -> 0 សម្រាប់ n -> ក្រុមហ៊ុន Infinity ។ ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មានមុខងារវា f (x) ត្រូវតែស្មើនឹងផលបូកនៃស៊េរី Maclaurin នេះ។

ឥឡូវសូមពិចារណាស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារបុគ្គល។

1. ដូច្នេះដំបូងដែលត្រូវ f (x) = ^{x អេឡិចត្រូនិក។} ជាការពិតណាស់ដែលថាលក្ខណៈរបស់ពួកគេដូច្នេះ f-Ia បានចេញមកភាពខុសគ្នានៃការបញ្ជាទិញនិង f ^{(K) (x)} = អ៊ី ^X, ដែលជាកន្លែងដែលមាន k ស្មើនឹងគ្រប់ ចំនួនធម្មជាតិនេះ។ ជំនួស x = 0 ។ យើងទទួលបានច ^{(K) (0)} = ⁰ = 1 អេឡិចត្រូនិ, k = 1,2 ... ដោយផ្អែកលើខាងមុខចំនួនអ៊ី ^x មួយ វានឹងមានដូចខាងក្រោម:

2. ស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារបាប x f (x) = ។ ភ្លាមបញ្ជាក់ថាចសម្រាប់ឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុបែមិនស្គាល់ទាំងអស់នឹងមាន, ក្រៅពីក្រុម f ^(x) = cos x = SIN (x + n / 2) ^{f '' (x)} = -sin x = SIN (X + + 2 * n / ²⁾ ... , f ^{(K) (x)} = sin (x + n * ការមាន k / 2), ដែលជាកន្លែងដែលមាន k គឺស្មើទៅនឹងចំនួនគត់វិជ្ជមានណាមួយទេ។ នោះគឺការធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញយើងអាចសន្និដ្ឋានថាស៊េរីសម្រាប់ f (x) = បាប x នឹងត្រូវបានដូចនេះ:

3. ឥឡូវនេះសូមពិចារណា iju f-f (x) = cos x ។ វាគឺជាការដែលមិនស្គាល់សម្រាប់ឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុទាំងអស់នៃការបញ្ជាទិញបំពាននិងការ ^{| f (K) (X)} | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, K = 1,2 ... ជាថ្មីម្តងទៀតនោះវាបានធ្វើឱ្យការគណនាមួយចំនួនដែលយើងបានរកឃើញថាស៊េរីសម្រាប់ f (x) = cos x នឹងមើលទៅដូចនេះ:

ដូច្នេះយើងបានរាយបញ្ជីលក្ខណៈពិសេសសំខាន់បំផុតដែលអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin, ប៉ុន្តែពួកគេបានបំពេញជាស៊េរីតេល័សម្រាប់មុខងារមួយចំនួន។ ឥឡូវនេះយើងនឹងរាយបញ្ជីពួកគេផងដែរ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ឃើញថាជាស៊េរីតេល័និងស៊េរី Maclaurin ជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃស៊េរីសិក្ខាសាលាសេចក្ដីសម្រេចនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ។ ដូច្នេះស៊េរីតេល័រ។

1. ជាដំបូងនេះគឺជាស៊េរីនៃ f-ii f (x) = ln (1 + + X) មួយ។ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុនដ្បិតយើងនេះ f (x) = ln (1 + + X) អាចត្រូវបានបត់ចំនួនដោយប្រើទម្រង់ទូទៅនៃស៊េរី Maclaurin ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់លក្ខណៈពិសេសនេះ Maclaurin អាចត្រូវបានទទួលកាន់តែងាយស្រួល។ ការបញ្ចូលគ្នាជាស៊េរីធរណីមាត្រយើងទទួលបានចំនួនសម្រាប់ការ f (x) = ln មួយ (1 + X) នៃគំរូនេះ:

2 និងលើកទីពីរដែលនឹងត្រូវបានចុងក្រោយនៅក្នុងអត្ថបទនេះនឹងក្លាយជាស៊េរីសម្រាប់ f (x) = arctg x ។ សម្រាប់ x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះ [-1 1] គឺការ decomposition ត្រឹមត្រូវ:

នោះជាការទាំងអស់។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះខ្ញុំបានស្ទង់មតិជាស៊េរីតេល័ប្រើច្រើនបំផុតនិងស៊េរី Maclaurin ក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងជាពិសេសនៅមហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ចនិងបច្ចេកទេស។